РОЗДІЛ 6. ЛІНІЙНІ ПРОСТОРИ. § 1. Основні поняття. 1. Означення лінійного простору. Кажуть, що в множині
деяких елементів визначено операцію додавання, якщо кожній парі
,
елементів множини
поставлено у відповідність єдиний елемент тої самої множини, який називається сумою елементів
,
і позначається
. Точно так само, в множині
визначено операцію множення елементів на числа, якщо кожному елементові
множини
і будь-якому числу
поставлено у відповідність єдиний елемент тої самої множини, який називається добутком елемента
на число
і позначається
. Наголосимо, що так визначені операції додавання елементів та множення елемента на число не виводять за межі множини
, або, що те саме, множина
замкнена відносно цих операцій. Множина
деяких елементів називається лінійним простором, якщо в ній визначено операції додавання елементів та множення елемента на число і для цих операцій справджуються аксіоми: 1.
; 2.
; 3.
; 4.
; 5.
; 6.
; 7.
; 8.
. Елементи лінійного простору називаються векторами. Лінійний простір
називається дійсним лінійним простором, якщо числові множники належать полю дійсних чисел
. Якщо ж скалярні множники належать полю комплексних чисел
, то простір називається комплексним. Надалі, якщо не обумовлено супротивне, розглядаються комплексні лінійні простори. 2. Приклади лінійних просторів. У попередніх розділах було розглянуто два приклади дійсних лінійних просторів. 1). Множина векторів тривимірного простору разом з визначеними в ній операціями додавання векторів і множення вектора на число. 2). Множина
– матриць разом з визначеними в ній операціями додавання матриць та множення матриці на число. Наведемо ще кілька прикладів. 3). Множина
функцій, визначених і неперервних на проміжку
, разом зі звичайними операціями додавання функцій та множення функції на дійсне число, утворює дійсний лінійний простір. Справді, з математичного аналізу відомо, що сума двох неперервних функцій є неперервною функцією, так само як і добуток неперервної функції на число. Оскільки додавання функцій та множення функції на число зводяться до тих самих операцій над числами, а для чисел аксіоми 1–8 лінійного простору справджуються очевидним чином, то вони справджуються і для неперервних на проміжку
функцій. 4). В множині
всеможливих систем
дійсних чисел
визначимо операції додавання та множення на число за такими правилами: а) сумою
елементів
,
будемо називати елемент
; в) добутком елемента
на число
назвемо елемент
. Зрозуміло, що так визначені лінійні операції не виводять за межі множини
. Оскільки лінійні операції виконуються покомпонентно, то вони зводяться до операцій над числами, а для чисел аксіоми 1–8 справджуються. Отже, аксіоми лінійного простору справджуються і для елементів множини
. Зазначимо, що лінійний простір
іноді називають арифметичним лінійним простором і цей простір в лінійній алгебрі є чи не найважливішим прикладом лінійного простру. Точно так само сукупність
впорядкованих систем
комплексних чисел
утворює комплексний лінійний простір. 5). Перевірити як вправу, що сукупність многочленів, степінь яких не перевищує
, разом зі звичайними операціями додавання многочленів та множення многочлена на число, утворює лінійних простір. 3. Лінійно залежні та лінійно незалежні вектори. Вектори
лінійного простру
називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа
, серед яких принаймні одне не дорівнює нулеві, що
; якщо ця рівність можлива лише при
, то вектори
називаються лінійно незалежними. Очевидно, що якщо в систему векторів
входить нульовий вектор, то ця система лінійно залежна. Якщо вектор
можна подати у вигляді
, то кажуть, що вектор
розкладено за векторами
, або що вектор
є лінійною комбінацією векторів
. Теорема про лінійну залежність векторів. Ненульові вектори
лінійно залежні тоді і лише тоді, коли хоч би один з них ...